Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x+

11

2

上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n和為T_n，求T_n及使不等式T_n＜

k

2012

對(duì)一切n∈N^*都成立的最小正整數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，即可得到數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，求出公差，即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡c_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，求出數(shù)列{c_n}的前n和為T_n，再由數(shù)列的單調(diào)性，即可得到k的最小值．

解答： 解：（1）由題意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即S_n=

1

2

n²+

11

2

n，
故當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（

1

2

n²+

11

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

11

2

（n-1）]=n+5，
n=1時(shí)，a₁=S₁=6，而當(dāng)n=1時(shí)，n+5=6，
所以，a_n=n+5；
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1+=b_n+1-b_n，
所以{b_n}為等差數(shù)列，于是

9(b3+b7)

2

=153而b₃=11，b₇=23，
解得公差為3，因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2；
（2）c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

易知T_n單調(diào)遞增，由Tn＜

k

2012

得k＞2012T_n，而Tn→

1

2

，故k≥1006，
∴k_min=1006．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)相消求和方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．