Question

已知f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：本題（1）通過化簡，利用輔助角公式，將題目中的三角函數(shù)化成

2

sin（2x+

π

4

），利用

2π

|ω|

求出函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）由自變量x的范圍，求出2x+

π

4

的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，求出sin（2x+

π

4

）的取值范圍，從而得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+cos2x，x∈R，
∴f（x）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

+sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

+cos2x
=2sin2xcos

π

3

+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x+

π

4

）．
∴T=

2π

2

=π．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π，
∵-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
（當(dāng)且僅當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時，取最小值；
2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，取最大值）
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的圖象，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．