Question

在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，PD=DA
（1）求證：BC⊥平面PDC；
（2）求直線PD與平面PBC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證BC與面PDC垂直，只需證BC⊥DC，BC⊥PD，根據(jù)已知不難證明；
（2）先找到所求的線面角，可過點(diǎn)D作DH⊥PC于H，易證∠DPH即為所求，結(jié)合直角三角形易求之為45°．

解答： 解：（1）因?yàn)镻D⊥面ABCD，所以PD⊥BC．又底面ABCD為正方形，故BC⊥DC，
又PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．
（2）由（1）得BC⊥面PDC，所以面PBC⊥面PDC于PC．
作DH⊥PC于H，所以DH⊥面PBC．
所以PH就是PD在面PBC內(nèi)的射影，
故∠DPH即為所求的線面角．
又PD=DA．PD⊥DC，故△PDC為等腰直角三角形．
故∠DPH=45°．
即直線PD與平面PBC所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化以及線面角的求法．前者強(qiáng)調(diào)垂直間的轉(zhuǎn)化，后者是先作出該角，然后解直角三角形．