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【題目】已知,令能取到的不同的整數值的個數.

【答案】1005

【解析】

因為,,

所以,.

設和式中有,,1.,且.

.

為整數,則.此時,

.

(1)當時,中至少有1007,1007,即至少有2014個數,矛盾.

時,中至少有1006,1006.

(i)中有1006,1007.

由于中有1005,則這1006中連在一起,

,

,

其中,.

.

(ii)中有1007,1006.類似有,

,

,

其中,.

綜合(i)、(ii),共有2012,使取最大值6032.

(2)用數學歸納法證明:當時,存在使得.

時,由(1)已證.

假設當時,存在使得.

中連續(xù)的壓(或)稱為一段.分別從段長度大于1段、段中各取一個,放在數列末尾(若原末尾為,則取出的放最末尾;若原末尾為,則取出的放最末尾).

于是,和式中的、各減少l,增加2.此時,.

故當時,結論成立.

綜上,能取到的不同整數值個數為1005.

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