Question

14．已知f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若x＞1時，f（x）＜a（x²-1），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù) f（x）定義域，導(dǎo)函數(shù)f'（x），令f'（x）=0，求解極值點，然后求解最小值．求解函數(shù)f（x）的值域．
（Ⅱ）f（x）＜a（x²-1）?xlnx-a（x²-1）＜0，令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x＞1），g'（x）=lnx+1-2ax，令h（x）=lnx+1-2ax，$h'（x）=\frac{1-2ax}{x}$，通過①若a≤0，②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，③若$a≥\frac{1}{2}$，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性通過f（x）＜a（x²-1），求解a的取值范圍．

解答 滿分（12分）．
解：（Ⅰ） f（x）定義域為（0，+∞）…（1分）
f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，
即lnx+1=0得$x=\frac{1}{e}$，…（2分）
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，f'（x）＜0；當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時，f'（x）＞0，…（3分）
∴當(dāng)$x=\frac{1}{e}$時，f（x）取得極小值即最小值$f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$
∴函數(shù)f（x）的值域為$（-\frac{1}{e}，+∞）$．…（4分）
（Ⅱ）f（x）＜a（x²-1）?xlnx-a（x²-1）＜0
令g（x）=xlnx-a（x²-1），（x＞1），g'（x）=lnx+1-2ax，
令h（x）=lnx+1-2ax，$h'（x）=\frac{1-2ax}{x}$，…（5分）
①若a≤0，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（1）=1-2a＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，不符合題意；…（7分）
②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，由h'（x）=0得$x=\frac{1}{2a}＞1$，
∴當(dāng)$x∈（1，\frac{1}{2a}）$時，h'（x）＞0，∴h（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，
從而h（x）＞h（1）=1-2a＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$上單調(diào)遞增，
從而g（x）＞g（1）=0，不符合題意；  …（9分）
③若$a≥\frac{1}{2}$，則h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（1）=1-2a＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）＜g（1）=0，從而f（x）＜a（x²-1）．…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及化歸思想等．