Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，離心率為

1

3

，過點(diǎn)F₁的直線l交E于M、N兩點(diǎn)，且△MNF₂的周長為4

3

，設(shè)橢圓E與曲線|y|=kx（k＞0）的交點(diǎn)為A、B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合△MNF₂的周長為4

3

，即可 求得a，再由離心率公式，即可得到c，再由a，b，c的關(guān)系，即可得到b，進(jìn)而得到橢圓方程，再聯(lián)立曲線|y|=kx（k＞0），求出交點(diǎn)為A、B，再求三角形OAB的面積，化簡整理，再由基本不等式，即可得到最大值．

解答： 解：由于離心率為

1

3

，即有

c

a

=

1

3

，
由于過點(diǎn)F₁的直線l交E于M、N兩點(diǎn)，且△MNF₂的周長為4

3

，
則|MF₁|+|NF₁|+|MF₂|+|NF₂|=4

3

，
由橢圓的定義，可得，|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，
即有4a=4

3

，即有a=

3

，c=1，b=

2

，
則橢圓E的方程為：

x2

3

+

y2

2

=1，
由|y|=kx（k＞0）和橢圓E的方程聯(lián)立，
可得A（

6 2+3k2

，k

6 2+3k2

），B（

6 2+3k2

，-k

6 2+3k2

），
則|AB|=2k

6 2+3k2

，
則△OAB面積為

1

2

•2k

6 2+3k2

•

6 2+3k2

=

6k

2+3k2

=

6

3k+ 2 k

（k＞0）≤

6

2 3k• 2 k

=

6

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)3k=

2

k

，即k=

6

3

時(shí)，面積取最大值

6

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．