Question

20．已知直線l₁為曲線y=f（x）=x²+x-2在點（1，0）處的切線，l₂為該曲線的另外一條切線，且l₁⊥l₂，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=3，即直線l₁的斜率，再設(shè)直線l₂過曲線上點B（b，b²+b-2），得到曲線在x=b處的導(dǎo)數(shù)，由l₁⊥l₂列式求得b，則直線l₂的方程可求．

解答 解∵f′（x）=2x+1，∴f′（1）=3，
∴直線l₁的斜率為3．
設(shè)直線l₂過曲線上點B（b，b²+b-2），
∵f′（b）=2b+1，
∴直線l₂的方程為y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b），即y=（2b+1）x-b²-2．
又l₁⊥l₂，∴3（2b+1）=-1，即b=-$\frac{2}{3}$．
∴直線l₂的方程為$y=-\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}$．
即3x+9y+22=0．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程，曲線上過某點的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題．