Question

18．如圖，已知拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為2，點A、點B是拋物線C上的定點，它們到焦點F的距離均為2，且點A位于第一象限．
（1）求拋物線C的方程及點A、點B的坐標；
（2）若點Q（x₀，y₀）是拋物線C異于A、B的一動點，分別以點A、B、Q為切點作拋物線C的三條切線l₁、l₂、l₃，若l₁與l₂、l₁與l₃、l₂與l₃分別相交于D、E、H，設△ABQ，△DEH的面積依次為S_△ABQ，S_△DEH，記λ=$\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△EDH}}$，問：λ是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為2，求出p，可得拋物線C的方程，根據(jù)，點A、點B是拋物線C上的定點，它們到焦點F的距離均為2，且點A位于第一象限，求出點A、點B的坐標；
（2）求出D，E，H的坐標，進而求出S_△ABQ，S_△DEH，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
∵點A、點B是拋物線C上的定點，它們到焦點F的距離均為2，
∴A（2，1）；B（-2，1）；
（2）y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x
∴l(xiāng)₁：y=x-1；l₂：y=-x-1；l₃：y=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x₀²，
∴D（0，-1），E（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{x}_{0}}{2}$），H（$\frac{{x}_{0}-2}{2}$，-$\frac{{x}_{0}}{2}$），
∴EH=$\sqrt{4+{{x}_{0}}^{2}}$；
$zctiukh_{D-{l}_{3}}$=$\frac{|1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}}$
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}AB•v4lztmb_{Q-AB}$=$\frac{|4-{{x}_{0}}^{2}|}{2}$，S_△DEH=$\frac{1}{2}EH•$$w6oeplb_{D-{l}_{3}}$=$\frac{|4-{{x}_{0}}^{2}|}{4}$
∴λ=$\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△EDH}}$=2．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．