Question

17．已知圓（x+1）²+y²=4的圓心為C，點(diǎn)P是直線l：mx-y-5m+4=0上的點(diǎn)，若該圓上存在點(diǎn)Q使得∠CPQ=30°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-2，2]
• C． $[{\frac{{\sqrt{3}-3}}{4}，\frac{{\sqrt{3}+3}}{4}}]$
• D． $[{0，\frac{12}{5}}]$

Answer 1

分析 由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，此時(shí)CP=4，利用圓上存在點(diǎn)Q使得∠CPQ=30°，可得圓心到直線的距離d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，進(jìn)而得出答案．

解答 解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大的角，此時(shí)CP=4．
∵圓上存在點(diǎn)Q使得∠CPQ=30°，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，
∴0≤m≤$\frac{12}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算公式、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．