Question

設(shè)a＞0，b＞0，求證：(

a2

b

)

1

2

(

b2

a

)

1

2

≥a

1

2

b

1

2

；．

Answer 1

分析：欲證原不等式成立，應(yīng)用比較法，即證明它們的差或商大于0或1即可，考慮到本題帶有指數(shù)運(yùn)算，一方面可作差，另一方面也可作商，兩種方法均可．

解答：證法一：左邊-右邊=

( a )3+( b )3

ab

-（

a

+

b

）
=

( a + b )(a- ab +b)- ab ( a + b )

ab

=

( a + b )(a-2 ab +b)

ab

=

( a + b )( a - b )2

ab

≥0．
∴原不等式成立．
證法二：左邊＞0，右邊＞0，

左邊

右邊

=

( a + b )(a- ab +b)

ab ( a + b )

=

a- ab +b

ab

≥

2 ab - ab

ab

=1．
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：作差法是當(dāng)要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時(shí)，通過(guò)作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左-右的符號(hào)，從而降低了問(wèn)題的難度．作差是化歸，變形是手段，變形的過(guò)程是因式分解（和差化積）或配方，把差式變形為若干因子的乘積或若干個(gè)完全平方的和，進(jìn)而判定其符號(hào)，得出結(jié)論．