Question

數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常數），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數列，則{a_n}的通項公式為（　�。�

• A、n²+2n-1
• B、n²-2n+1
• C、n²+n
• D、n²-n+2

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由題意知（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由當c=0時，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，知c=2．由a_n-a_n-1=（n-1）c，求出通項公式．

解答： 解：a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因為a₁，a₂，a₃成等比數列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
當c=0時，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，故c=2．
當n≥2時，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

•c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，…）．
當n=1時，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，…）．
故選D．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意計算能力的培養(yǎng)．