Question

圓C的參數(shù)方程為

x=a+2cosθ  y=a2+2sinθ

（θ為參數(shù)），設(shè)圓心C的軌跡方程為曲線M，若斜率為2的直線L與曲線M相切，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為

4 5

5

，則a的可能取值的集合是（　　）

• A、{1，3}
• B、{-1，-3}
• C、{-1，3}
• D、{1，-3}

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：先將圓的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑，求出軌跡M，設(shè)出直線方程y=2x+b，由直線與曲線相切的條件求出b，再根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，求出圓心到直線的距離d，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出a．

解答： 解：圓C的參數(shù)方程為

x=a+2cosθ  y=a2+2sinθ

（θ為參數(shù)），
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-a²）²=4，圓心為（a，a²），半徑為2，
曲線M為：y=x²，令斜率為2的直線L為：y=2x+b，
由

y=x2 y=2x+b

消去y，得x²-2x-b=0，
由直線L與曲線M相切，得：2²-4×1×（-b）=0，即b=-1，
∴直線L為：y=2x-1即2x-y-1=0，
∴圓心到直線的距離d=

|2a-a2-1|

22+(-1)2

=

|a2-2a+1|

5

，
又直線M被圓C截得的弦長(zhǎng)為

4 5

5

，
由弦長(zhǎng)公式得，

4 5

5

=2

22-d2

，即d=

4

5

，
∴|a²-2a+1|=4，即a²-2a+1=±4，
由a²-2a+1=4，解得a=-1或3，
由a²-2a+1=-4，得方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
∴a的可能取值的集合是{-1，3}．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的問(wèn)題，注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本的運(yùn)算能力．