Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函數(shù)g（x）=acos

πx

2

-2a+

1

2

(a＜0)，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)f（x）的解析式求出其值域，再求出g（x）在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，說明g（x）的最值中至少一個在f（x）的值域內(nèi)，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

2x3

x+1

，
∴f′（x）=

6x2(x+1)-2x3

(x+1)2

=

4x3+6x2

(x+1)2

，
當x∈（

1

2

，]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（

1

2

，1]上為增函數(shù)，∴f（x）∈（

1

6

，1]；
當x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，∴f（x）∈[0，

1

6

]；
∴在[0，1]上f（x）∈[0，1]；
又g（x）=acos

πx

2

-2a+

1

2

中，
當x∈[0，1]時，cos

πx

2

∈[0，1]，
∴g（x）∈[-2a+

1

2

，-a+

1

2

]；
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
說明函數(shù)g（x）的最大值與最小值中至少有一個在[0，1]中，
∴0≤-2a+

1

2

≤1或0≤-a+

1

2

≤1，
解得-

1

4

≤a≤

1

4

，或-

1

2

≤a≤

1

2

，
又a＜0，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|-

1

2

≤a＜0}．
故答案為：{a|-

1

2

≤a＜0}．

點評：本題考查了函數(shù)的零點以及數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，解題時應把函數(shù)零點的研究轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的關(guān)系問題來解答，是較難的題．