Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．
（Ⅰ）求log₄（a-b）的值；
（Ⅱ）若f（x）-2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=a-

b

x2

，由此能求出log₄（a-b）=log₄2=

1

2

．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，得g（1）=0，g′（x）=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，由此利用分類討論思想能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0），
∴f′(x)=a-

b

x2

，
∵函數(shù)f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行，
∴f′（1）=a-b=2，
∴l(xiāng)og₄（a-b）=log₄2=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞），
則g（1）=0，
g′（x）=a-

a-2

x2

-

2

x

=

ax2-2x-(a-2)

x2

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，
①當0＜a＜1時，

2-a

a

＞1，
∴當x∈（1，

2-a

a

）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）是（1，

2-a

a

）上的減函數(shù)，
∴f（x）-2lnx≥0在[1，+∞）上不成立；
②當a＞1時，則

2-a

a

＜0，
當x＞1時，g′（x）＞0，
解得g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（1）=0，∴f（x）-2lnx＞0．
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查對數(shù)值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．