Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，滿足T_n=3S_n-2n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：S_n≥1，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，以及構(gòu)造等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，注意n=1的情況是否成立；
（2）由（1）可得數(shù)列{S_n}在n∈N^*遞增，即可得證．

解答 解：（1）T_n=3S_n-2n，n∈N^*．①
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=S₁=3S₁-2，
可得S₁=1，
n=2時(shí)，S₁+S₂=3S₂-4，
解得S₂=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=3S_n-1-2（n-1），②
①-②可得S_n=3S_n-3S_n-1-2，
即為S_n=$\frac{3}{2}$S_n-1+1，
即有S_n+2=$\frac{3}{2}$（S_n-1+2），
則S_n+2=（S₂+2）•（$\frac{3}{2}$）^n-2，
可得S_n=$\frac{9}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2-2=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，對(duì)n=1也成立，
則S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2-3•（$\frac{3}{2}$）^n-2+2
=（$\frac{3}{2}$）^n-1，對(duì)n=1也成立，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，n∈N^*．
（2）證明：由（1）得S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
由于$\frac{3}{2}$＞1，可得數(shù)列{S_n}遞增，
即有S_n≥S₁=1，
則S_n≥1，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意數(shù)列遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，以及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．