Question

16．用半徑為R的圓鐵皮剪一個內接矩形，再以內接矩形的兩邊分別作為圓柱的高與底面半徑，則圓柱的體積最大時，該圓鐵皮面積與其內接矩形的面積比為（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{3}π}{8}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}π}{7}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}π}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}π}{7}$

Answer 1

分析 設圓柱的高為x，則其為內接矩形的一邊長，那么另一邊長為y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，利用導數(shù)性質求出當x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$時，此圓柱體積最大．由此能求出圓柱的體積最大時，該圓鐵皮面積與其內接矩形的面積比．

解答 解：設圓柱的高為x，則其為內接矩形的一邊長，那么另一邊長為y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
∴圓柱的體積V（X）=πy²x=$π×4[{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}]x$=π（-x³+4R²x），（0＜x＜2R），
∴V′（x）=π（-3x²+4R²），
列表如下：

x	（0，$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$）	$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$	（$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，2R）
V′（x）	+	0	-

∴當x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$時，此圓柱體積最大．
∴圓柱體體積最大時，該圓內接矩形的兩條邊長分別為$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$和2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}R}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{3}$，
∴圓柱的體積最大時，該圓鐵皮面積與其內接矩形的面積比為：
$\frac{π{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}R}{3}•\frac{2\sqrt{6}R}{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$．
故選：C．

點評 本題考查圓柱的體積最大時，該圓鐵皮面積與其內接矩形的面積比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理應用．