Question

3．下列命題中的真命題是（　　）
①若命題p：?x＜0，x≥sinx，命題q：函數(shù)f（x）=x²-2^x僅有兩個零點，則命題^?p∨q為真命題；
②若變量x，y的一組觀測數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）均在直線y=2x+1上，則y與x的線性相關(guān)系數(shù)r=1；
③若a，b∈[0，1]，則使不等式$a+b＜\frac{1}{2}$成立的概率是$\frac{1}{4}$．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②
• D． ②③

Answer 1

分析 ①對于命題p：令g（x）=x-sinx，x＜0，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出真假；對于命題q：函數(shù)f（x）有三個零點，在（-1，0）內(nèi)含有一個零點，另外兩個是2，4，即可判斷出真假；
②由線性相關(guān)系數(shù)的定義即可判斷出正誤；
③如圖所示，利用幾何概率計算公式即可得出．

解答 解：①對于命題p：令g（x）=x-sinx，x＜0，則g′（x）=1-cosx＞0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）＜g（0），∴x＜sinx，因此不存在x＜0，x≥sinx，故是假命題；
對于命題q：函數(shù)f（x）有三個零點，由于f（-1）f（0）＜0，因此在（-1，0）內(nèi)含有一個零點，另外兩個是2，4，因此命題q是假命題．∴命題^?p∨q為真命題，
所以①是真命題；
②由線性相關(guān)系數(shù)的定義可知②是真命題；
③如圖所示，$P（a+b＜\frac{1}{2}）$=$\frac{\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{2}}{{1}^{2}}$=$\frac{1}{8}$$≠\frac{1}{4}$，因此是假命題．
綜上可得：只有①②是真命題．
故選：A．．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點存在判定定理、線性相關(guān)系數(shù)的定義、幾何概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．