Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，其中a＞0，b為任意常數(shù)．證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．（其中，max{x，y}=

x， x≥y y， x＜y

）

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：不等式

分析：由于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=

a+b

3a

，0≤x≤1，故需要進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)0＜

a+b

3a

＜1時(shí)，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．從而可證得結(jié)論．

解答： 解：f（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2-ab

3a

（1）當(dāng)

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
所以f（1）≤f（x）≤f（0），或f（0）≤f（x）≤f（1），且f（0）+f（1）=a＞0．
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
（2）當(dāng)0＜

a+b

3a

＜1時(shí)，即-a＜b＜2a，則-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．
①當(dāng)-a＜b≤

b

2

時(shí)，則則0＜a+b≤

3

2

a，
所以  f（1）-

a2+b2-ab

3a

=

2a2-b2-2ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
②當(dāng)

a

2

＜b＜2a時(shí)，則(b-

a

2

)(b-2a)＜0，即即a²+b²-

5

2

ab＜0，
所以b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞

5 2 ab-a2-b2

3a

＞0，即f（0）＞

a2+b2-ab

3a

，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
綜上所述：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于零，考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．