Question

已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）是函數(shù)f（x）=（

a

+4

b

）•

b

，且x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平行向量與共線向量

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）首先利用向量共線的充要條件，求出tanx=-

3

4

，再把函數(shù)關(guān)系式進行恒等變換，最后求出結(jié)果．
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積求出三角函數(shù)關(guān)系式，通過恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，利用定義域再．求出函數(shù)的值域

解答： 解：（1）已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
當

a

∥

b

時，則：-4sinx-3cosx=0
解得：tanx=-

3

4

cos²x-sin2x=

cos2x-2sinx•cosx

sin2x+cos2x

=

1-tanx

tan2x+1

=

8

5

（2）由已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
則：f（x）=（

a

+4

b

）•

b

=4（sinx+cosx）cosx+1=2sin2x+2cos2x+3=2

2

sin（2x+

π

4

）+3
因為：x∈[0，

π

2

]，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
1≤f(x)≤2

2

+3

點評：本題考查的知識要點：向量共線的充要條件，三角函數(shù)的恒等變換，向量的數(shù)量積，根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域求值域．