Question

計(jì)算定積分：
（1）

∫

0 -4

（

16-x2

+

2

1-2x

）dx=

 

；
（2）

∫

π 2 0

（sin2x+|（1-x）³|）dx=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)定積分的幾何意義求出：

∫

0 -4

16-x2

dx=4π，再根據(jù)定積分的法則求出

∫

0 -4

2

1-2x

dx，問題得以解決，
（2）先

∫

π 2 0

|（1-x）³|dx轉(zhuǎn)化為

∫

1 0

（1-x）³dx+

∫

π 2 1

（x-1）³dx，然后計(jì)算即可．

解答： 解：（1）

∫

0 -4

16-x2

dx，表示以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓的面積的四分之一，故：

∫

0 -4

16-x2

dx=

1

4

π×4²=4π，

∫

0 -4

2

1-2x

dx=-ln（1-2x）|

0 -4

=-（ln1-ln9）=ln9，
∴

∫

0 -4

（

16-x2

+

2

1-2x

）dx=4π+ln9，
（2）

∫

π 2 0

sin2xdx=-

1

2

cos2x

|

π 2 0

=-

1

2

（cosπ-cos0）=1，

∫

π 2 0

|（1-x）³|dx=

∫

1 0

（1-x）³dx+

∫

π 2 1

（x-1）³dx=-

1

4

(1-x)4

|

1 0

+

1

4

（x-1）⁴|

π 2 1

=

1

4

+

1

4

(

π

2

-1)4，
故

∫

π 2 0

（sin2x+|（1-x）³|）dx=

5

4

+

1

4

(

π

2

-1)4，
故答案為：（1）=4π+ln9，（2）

5

4

+

1

4

(

π

2

-1)4，

點(diǎn)評：本題主要考查了定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化的思想的利用，屬于中檔題．