Question

3．己知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-1），數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₅=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{_{n+1}^{2}-1}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=a₁q^n-1=3^n-1；再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n=b₁+（n-1）d=2n-1；
（2）求得c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{（2n+1）^{2}-1}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理可得所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3a₁-1），
解得a₁=1，
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-1），可得S_n-1=$\frac{1}{2}$（3a_n-1-1），
相減可得a_n=$\frac{1}{2}$（3a_n-3a_n-1），
即為a_n=3a_n-1，
則a_n=a₁q^n-1=3^n-1；
即有b₁=a₁=1，b₅=a₃=9，
可得公差d=$\frac{_{5}-_{1}}{5-1}$=2，
b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{4（{n}^{2}+n+1）}{（2n+1）^{2}-1}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有前n項(xiàng)和T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=n+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=n+1-$\frac{1}{n+1}$=n+$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差（比）數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．