Question

17．已知四面體ABCD的一條棱長為a，其余各棱長均為2$\sqrt{3}$，且所有頂點都在表面積為20π的球面上，則a的值等于（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題意畫出幾何體的圖形，推出四面體的外接球的球心的位置，利用球的半徑建立方程，即可求出a的值．

解答 解：表面積為20π的球的半徑為$\sqrt{5}$．
畫出幾何體的圖形，BC=a，BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
取AD的中點E，則OE⊥AD，球的球心在AD的中點E與O的連線上，
設球心為G，
∵OA=OD=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{4}}$，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{9-\frac{{a}^{2}}{4}}$
設球的半徑為R，GE=x，則R²=5=3+x²=$\frac{{a}^{2}}{4}$+（$\sqrt{9-\frac{{a}^{2}}{4}}$-x）²，
∴x=$\sqrt{2}$，a=3$\sqrt{2}$
故選：C．．

點評 考查四面體的外接球的半徑的求法，考查空間想象能力，能夠判斷球心的位置是本題解答的關鍵，考查計算能力，轉化思想．