Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}中，給定正整數(shù)m（m＞1），$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$．定義：數(shù)列{a_n}滿足a_i+1≤a_i（i=1，2，…，m-1），稱數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)單調(diào)不增．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為：${a_n}={（-1）^n}，\;（n∈{N^*}）$，求V（5）．
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=a，\;{a_m}=b，\;（m＞1，\;m∈{N^*}，\;a＞b）$，求證V（m）=a-b的充分必要條件是數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)單調(diào)不增．
（Ⅲ）給定正整數(shù)m（m＞1），若數(shù)列{a_n}滿足：a_n≥0，（n=1，2，…，m），且數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)和m²，求V（m）的最大值與最小值．（寫出答案即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式分別氣的前5項(xiàng)，代入即可求得V（5），
（Ⅱ）充分性：由$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$，數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)單調(diào)不增，即a_m≤…≤a₂≤a₁，去掉絕對值求得V（m）=a-b，再證明必要性，采用反證法，假設(shè)數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)不是單調(diào)不增，則存在i（1≤i≤m-1）使得a_i+1＞a_i，求得$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$=|a-b+a_i+1-a_i|+（a_i+1-a_i）＞a-b，與已知矛盾，即可證明V（m）=a-b的充分必要條件是數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)單調(diào)不增．
（Ⅲ）由當(dāng)丨a_i+1-a_i丨=0時，即數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，V（m）=0，當(dāng)m=2時的最大值：此時a₁+a₂=4，|a₁-a₂|≤|4-0|=4，當(dāng)m＞2時的最大值：此時a₁+a₂+a₃+…+a₄=m²．

解答 解（Ⅰ）${a_n}={（-1）^n}，\;（n∈{N^*}）$，
a₁=-1，a₂=1，a₃=-1，a₄=1，a₅=-1，
 V（5）=丨a₂-a₁丨+丨a₃-a₂丨+丨a₄-a₃丨+丨a₅-a₄丨=2+2+2+2=8，
 V（5）=8．…（2分）
（Ⅱ）充分性：若數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)單調(diào)不增，即a_m≤…≤a₂≤a₁，
此時有：$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+（a₃-a₄）+…+（a_m-1-a_m）=a₁-a_m=a-b．
必要性：反證法，若數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)不是單調(diào)不增，則存在i（1≤i≤m-1）使得a_i+1＞a_i，那么：
$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$=$\sum_{i=1}^{i-1}$丨a_i+1-a_i丨+丨a_i+1-a_i丨+$\sum_{i=i+1}^{m}$丨a_i+1-a_i丨≥丨a_i-a₁丨+（a_i+1-a_i）+丨a_m-a_i+1丨，
=丨a_m-a_i+a_i-a_i+1丨+（a_i+1-a_i），
=丨a-b+a_i+′-a_i丨+（a_i+1-a_i），
由于a_i+1＞a_i，a＞b，
∴|a-b+a_i+1-a_i|+（a_i+1-a_i）＞a-b．
與已知矛盾．…（9分）
（III）最小值為0．此時{a_n}為常數(shù)列．…（10分）
最大值為$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{m=2}\\{2{m}^{2}，}&{m＞2}\end{array}\right.$，
當(dāng)m=2時的最大值：此時a₁+a₂=4，（a₁，a₂≥0），…11分
|a₁-a₂|≤|4-0|=4．
當(dāng)m＞2時的最大值：此時a₁+a₂+a₃+…+a₄=m²．
由|x-y|≤|x|+|y|易證，{a_n}的值的只有是大小交替出現(xiàn)時，才能讓V（m）取最大值．
不妨設(shè)：a_i+1≤a_i，i為奇數(shù)，a_i+1≥a_i，i為偶數(shù)．當(dāng)m為奇數(shù)時有：
$V（m）=\sum_{i=1}^{m-1}{|{{a_{i+1}}-a{\;}_i}|}$，
=a₁-a₂+a₃-a₂+a₃-a₄+a₅-a₄+…+a_m-a_m-1，
=a₁-a_m+2$\sum_{i=2}^{m-1}$a_i-4$\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}$a_2i≤2$\sum_{i=1}^{m}$a_i=2m²，
當(dāng)m為偶數(shù)時同理可證．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．