Question

6．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B為菱形，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A₁B⊥B₁C．
（1）求證：直線AC⊥直線BB₁；
（2）若直線BB₁與底面ABC成的角為60°，求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁，由已知可得AB₁⊥A₁B，進(jìn)一步得到A₁B⊥平面AB₁C，可得A₁B⊥AC，結(jié)合AC⊥AB，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面AA₁B₁B，則直線AC⊥直線BB₁；
（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，由B₁作AB的垂線，垂足為D，則BD⊥平面ABC，可得∠B₁BA=60°，得D為AB的中點(diǎn)，過A作DB₁的平行線，交A₁B₁于E點(diǎn)，則AE⊥平面ABC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，可得$\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}）$為平面AB₁B的一個(gè)法向量，再求出平面AB₁B的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答 （1）證明：連接AB₁，
∵側(cè)面AA₁B₁B為菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
又AB₁與BC₁相互垂直，AB₁∩B₁C=B₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C，
∴A₁B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A₁B=B，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，
∵BB₁?平面AA₁B₁B，∴直線AC⊥直線BB₁；
（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，由B₁作AB的垂線，垂足為D，則BD⊥平面ABC，
∴∠B₁BA=60°，得D為AB的中點(diǎn)，
過A作DB₁的平行線，交A₁B₁于E點(diǎn)，則AE⊥平面ABC，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，
則$\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}）$為平面AB₁B的一個(gè)法向量，
則B（2，0，0），C（0，2，0），$\overrightarrow{BC}=（{-2，2，0}），\overrightarrow{B{B_1}}=（{0，-1，\sqrt{3}}）$，
設(shè)平面AB₁B的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
故二面角A-BB₁-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．