Question

15．已知向量$\vec a=（1，m），\vec b=（1，-3）$，且滿足$（2\vec a+\vec b）⊥\vec b$
（Ⅰ）求向量$\vec a$的坐標及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（Ⅱ）求向量$\vec a$與$\vec b$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的坐標運算和垂直關系可得m的值，進而可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標，由模長公式可得；
（Ⅱ）由夾角公式可得向量夾角的余弦值，進而可得向量的夾角．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\vec a=（1，m），\vec b=（1，-3）$，
∵$（2\vec a+\vec b）⊥\vec b$，∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=（3，2m-3）•（1，-3）=3+（2m-3）×（-3）=0，
解得m=2，∴$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2，-1）
∴$|{\vec a+\vec b}|=\sqrt{5}$；
（Ⅱ）設向量$\vec a$與$\vec b$的夾角為θ，
由夾角公式可得$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{（1，2）•（1，-3）}{{\sqrt{1+{2^2}}\sqrt{1+{{（-3）}^2}}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0≤θ≤π，∴向量$\vec a$與$\vec b$的夾角$θ=\frac{3π}{4}$

點評 本題考查數(shù)量積和向量的夾角，涉及向量的模長公式，屬基礎題．