Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）在給定的坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的周期求出ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間．
（Ⅲ）用五點法作出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根據(jù)函數(shù)的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
（Ⅲ）用五點法作函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象：
列表：

2x-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-$\frac{1}{2}$	0	1	0	-1	-$\frac{1}{2}$

作圖：

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的周期性、單調性，用五點法作出正弦函數(shù)在一個周期上的簡圖，屬于中檔題．