Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若F₂關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為M，且|MF₁|=$\sqrt{2}$c，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 取雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，設(shè)點(diǎn)F₂（c，0）關(guān)于此直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），利用軸對稱的性質(zhì)可得m，n用a，b，c表示，利用兩點(diǎn)間的距離公式及|MF₁|=$\sqrt{2}$c，以及離心率公式即可得出．

解答 解：取雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，
設(shè)點(diǎn)F₂（c，0）關(guān)于此直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}•\frac{a}=-1}\\{\frac{n}{2}=\frac{a}•\frac{m+c}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2{a}^{2}}{c}-c}\\{n=\frac{2ab}{c}}\end{array}\right.$．即M（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$）．
有|MF₁|=$\sqrt{2}$c，可得$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}}{c}-c+c）^{2}+（\frac{2ab}{c}）^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
化為c=$\sqrt{2}$a．則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題綜合考查了雙曲線的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、軸對稱的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．