Question

18．已知點M是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一點，F(xiàn)是其右焦點，P為線段MF的中點，若|OM|=|OF|（0為坐標(biāo)原點）且|OP|=$\frac{1}{2}$a，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左焦點為F'，由雙曲線的定義可得，|MF|-|MF'|=2a，由題意可得△MFF'為直角三角形，且∠FMF'=90°，運用中位線定理和勾股定理，以及離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的左焦點為F'，由雙曲線的定義可得，
|MF|-|MF'|=2a，
由|OM|=|OF|，可得△MFF'為直角三角形，且∠FMF'=90°，
由OP為△MFF'的中位線，可得|MF'|=2|OP|=a，
即有|MF|=3a，
由勾股定理可得，a²+9a²=4c²，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及中位線定理，屬于中檔題．