Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，若$\frac{ab}{{c}^{2}}$取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可得a²+b²=c²，則$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{ab}{{a}^{2}+^{2}}$，運(yùn)用基本不等式可得a=b時(shí)，取得最大值，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，
可得a²+b²=c²，
則$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{ab}{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得最大值$\frac{1}{2}$，
此時(shí)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，注意運(yùn)用基本不等式及等號(hào)成立的條件是解題的關(guān)鍵．