Question

7．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$S_n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{${\frac{S_n}{n}}\right.$}是等比數(shù)列；
（2）令b_n=ln$\frac{a_n}{n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n化簡已知的等式，變形后由等比數(shù)列的定義即可證明結論成立；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項公式求出a_n，代入b_n=ln$\frac{a_n}{n}$由對數(shù)的運算化簡后，利用分組求和法和裂項相消法、等差數(shù)列的前n項和公式求出T_n．

解答 證明：（1）由${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{S_n}$及a_n+1=S_n+1-S_n得，
${S_{n+1}}-{S_n}=\frac{n+2}{n}{S_n}$，整理得nS_n+1=2（n+1）S_n，
∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}=2\frac{S_n}{n}$，又$\frac{S_1}{1}=1≠0$，
∴$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．，…（6分）
（2）由（1）得 $\frac{S_n}{n}={2^{n-1}}$，${S_n}=n•{2^{n-1}}$，
所以${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{S_n}=\frac{n+2}{n}•n•{2^{n-1}}=（n+2）•{2^{n-1}}$，n∈N^*
則 ${a_n}=（n+1）•{2^{n-2}}$，n≥2，
又a₁=1也符合上式，所以${a_n}=（n+1）•{2^{n-2}}$，n∈N^* …（9分）
∴b_n=ln$\frac{a_n}{n}$=ln$\frac{（n+1）•{2}^{n-2}}{n}$=（n-2）ln2+[ln（n+1）-lnn]，
∴T_n=ln2（-1+0+1+n-2）+（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…++[ln（n+1）-lnn]
=$\frac{n（-1+n-2）}{2}•ln2+$ln（n+1）
=$\frac{n（n-3）}{2}•ln2+ln（n+1）$   …（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，等比數(shù)列判斷方法：定義法，以及分組求和法和裂項相消法求和方法的應用，屬于中檔題．