Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx²，x∈R．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）（x²-bx+2），當(dāng)k=0時(shí)，若函數(shù)g（x）有極值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時(shí)，求得g（x）和g′（x）將函數(shù)f（x）有極值，轉(zhuǎn)化成g′（x）=0在R上有解，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得b的取值范圍；
（2）f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，等價(jià)于f′（x）=e^x-2kx≥0（x＞0）恒成立，分k≤0，0＜k≤$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$三種情況進(jìn)行討論，前兩種情況易作出判斷，k＞$\frac{1}{2}$時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值解不等式即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，g（x）=e^x（x²-bx+2），g′（x）=e^x[x²+（2-b）x+2-b]，
∵函數(shù)f（x）有極值，
∴g′（x）=0在R上有解，
設(shè)h（x）=x²+（2-b）x+2-b，由二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：△≥0，
（2-b）²-4（2-b）≥0，解得：b≥2或b≤-2；
實(shí)數(shù)b的取值范圍（-∞，-2）∪（2，+∞）；
（2）f′（x）=e^x-2kx，將f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0（x＞0）恒成立，
若k≤0，顯然f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
記φ（x）=e^x-2kx，則φ′（x）=e^x-2k，
當(dāng)0＜k≤$\frac{1}{2}$時(shí)，
∵e^x＞e⁰=1，2k≤1，
∴φ′（x）＞0，則φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
于是f′（x）=φ（x）＞φ（0）=1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)k＞$\frac{1}{2}$時(shí)，φ（x）=e^x-2kx在（0，ln2k）上單調(diào)遞減，在（ln2k，+∞）上單調(diào)遞增，
于是f′（x）=φ（x）≥φ（ln2k）=e^ln2k-2kln2k，
由e^ln2k-2kln2k≥0，得2k-2kln2k≥0，則 $\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{e}{2}$，
綜上，k的取值范圍為（-∞，$\frac{e}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式證明等知識，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，對能力要求很高，屬于中檔題．