Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），，則a，b，c大小關(guān)系是（ ）
A．b＞a＞c
B．a(chǎn)＞b＞c
C．a(chǎn)＞c＞b
D．b＞c＞a

Answer 1

【答案】分析：由已知中f（x）+xf′（x），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（uv）′=u′v+uv′，構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），則h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調(diào)性問(wèn)題很容易解決．
解答：解：令h（x）=xf（x），
∵函數(shù)y=f（x）以及函數(shù)y=x是R上的奇函數(shù)
∴h（x）=xf（x）是R上的偶函數(shù)，
又∵當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞）時(shí)的單調(diào)性為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴h（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的單調(diào)性為單調(diào)遞增函數(shù)．
若a=3^0.3•f（3^0.3），，
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，從而h（0）=0
因?yàn)閘og₃=-2，所以f（log₃）=f（-2）=-f（2），
由0＜log_π3＜1＜3^0.3＜3^0.5＜2
所以h（log_π3）＞h（3^0.3）＞h（2）=f（log3），
即：b＞a＞c
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查的考點(diǎn)與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問(wèn)題具體化的思想方法，構(gòu)造函數(shù)的思想；3）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反；5）奇偶函數(shù)的性質(zhì)：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本題結(jié)合已知構(gòu)造出h（x）是正確解答的關(guān)鍵所在．