Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，已知以點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）若， 的面積為4，求拋物線的方程；

（Ⅱ）若三點(diǎn)在同一條直線上，直線與平行，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ， .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合拋物線的對稱性可知是等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得，求解關(guān)于實(shí)數(shù)p的方程可得拋物線方程為；

(Ⅱ)由對稱性不妨設(shè)，則，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式有B，由拋物線準(zhǔn)線方程的性質(zhì)有，則A， ，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為， .

試題解析：

（Ⅰ）由對稱性知， 是等腰三角形.

∵，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，

即， ，

∴.

∴拋物線方程為；

（Ⅱ）由對稱性不妨設(shè)，則.

∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，

∴.

∴.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

∴.

又∵直線與直線平行，

∴.

由已知直線與拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為，

∴.

∴.

∴切點(diǎn).

∴直線的方程為，即.

由對稱性可知，直線有兩條，分別為， .