Question

15．已知直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，求l被曲線x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$所截弦長(zhǎng)及弦中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)直線l與雙曲線相交于點(diǎn)A，B．把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，代入曲線x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$，化為2t²+$（4-2\sqrt{3}）t$-4$\sqrt{3}$=0．解出t，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：設(shè)直線l與雙曲線相交于點(diǎn)A，B．
直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$，代入曲線x²-y²=-3+4$\sqrt{3}$，
化為2t²+$（4-2\sqrt{3}）t$-4$\sqrt{3}$=0．
解得t₁=-2，t₂=$\sqrt{3}$．
∴A$（-1-\sqrt{3}，4）$，B$（2，2-\sqrt{3}）$．
∴弦AB的中點(diǎn)M$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{6-\sqrt{3}}{2}）$．
弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19+10\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與曲線的交點(diǎn)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式與弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．