Question

2．為保證APEC會議期間空氣質(zhì)量，城市環(huán)保局加強了對各個地區(qū)空氣質(zhì)量的監(jiān)督力度．環(huán)保局在某工廠附近小區(qū)新設(shè)置了一臺儀器用以隨時監(jiān)測“PM2.5”的值，儀器有三個重要的元件，若元件損壞則會引起儀器故障，已知A，B，C三個元器件損壞的概率分別為：0.1，0.2，0.3，三個元器件是否損壞互不影響，當(dāng)A，B，C三個元器件中有一個損壞時，儀器發(fā)生故障的概率為0.1，有兩個損壞時，儀器發(fā)生故障的概率為0.5，有三個損壞時，儀器發(fā)生故障的概率為0.9．
（Ⅰ）設(shè)X表示A，B，C三個元器件正常的個數(shù)，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）求儀器發(fā)生故障的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（Ⅱ）由相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出儀器發(fā)生故障的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=0.1×0.2×0.3=0.006．
P（X=1）=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092，
P（X=2）=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398，
P（X=3）=0.9×0.8×0.7=0.504．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.006	0.092	0.398	0.504

EX=0×0.006+1×0.092+2×0.398+3×0.504=2.4．
（Ⅱ）儀器發(fā)生故障的概率：
p=0.006×0.9+0.092×0.5+0.0398×0.1=0.0912．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運用．