Question

【題目】關(guān)于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，解此不等式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，

由|x+3|＞|x﹣7|，兩邊平方，解得，x＞2，

由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，

且x≥7時(shí)，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．

則有2＜x＜7．

故可得其解集為{x|2＜x＜7}；

（2）解：設(shè)t=|x+3|﹣|x﹣7|，

則由對(duì)數(shù)定義及絕對(duì)值的幾何意義知，0＜t≤10，

因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，則lgt≤1，

當(dāng)t=10，即x=7時(shí)，lgt=1為最大值，

故只需m＞1即可，

即m＞1時(shí)，f（x）＜m恒成立．

【解析】（1）當(dāng)m=1時(shí)，原不等式可變?yōu)?＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通過(guò)兩邊平方和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可得到解集；（2）設(shè)t=|x+3|﹣|x﹣7|，則0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max ， 求得最大值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．