Question

拋物線C₁：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C₂：

x2

3

-y²=1的右焦點(diǎn)的連線交C₁于第一象限的點(diǎn)M，若C₁在點(diǎn)M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則a=（　　）

• A、

  3

  16

• B、

  3

  8

• C、

  2 3

  3

• D、

  4 3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線方程，求出函數(shù)y=ax²（a＞0）在交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與a的關(guān)系，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可求得a的值．

解答： 解：拋物線C₁：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，

1

4a

)，
雙曲線C₂：

x2

3

-y²=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）；
則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為

x

2

+

y

1 4a

=1即x+8ay-2=0①
設(shè)該直線交拋物線于M(x0，ax02)，
∵y′=2ax，
∴C₁在點(diǎn)M處的切線的斜率為2ax₀，
由題意可知2ax₀=

b

a

=

3

3

，得x0=

3

6a

，代入M點(diǎn)得M（

3

6a

，

1

12a

），
把M點(diǎn)代入①得：

3

6a

+

8a

12a

-2=0解得a=

3

8

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，函數(shù)在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率等于函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題．