Question

1．設(shè)橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)到直線$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1的距離$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓E的方程
（2）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓E分別交于A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)O到直線AB的距離．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，由點(diǎn)到直線的距離公式d=$\frac{丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線AB代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂及x₁x₂，OA⊥OB，可知x₁x₂+y₁y₂=0，代入即可求得7m²=12（k²+1），由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得點(diǎn)O到直線AB的距離．

解答 解：（1）由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，
a²=b²+c²，b=$\sqrt{3}$c，
右焦點(diǎn)（c，0）到$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1的距離：d=$\frac{丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
代入即可求得c=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．  （4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）直線AB的方程為y=kx+m與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
聯(lián)立消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由韋達(dá)定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$，
∴$（1+{k^2}）\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{3+4{k^2}}}+{m^2}=0$，
若過A，B兩點(diǎn)斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)滿足．
∴整理得：7m²=12（k²+1），
∴d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{12}}{7}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$． （12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．