Question

1．已知函數(shù)f（x）=x-alnx+$\frac{1+a}{x}$．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x∈[1，3]的最值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a值，利用導(dǎo)函數(shù)直接判斷；
（Ⅱ）求導(dǎo)，在定義域內(nèi)對a進行分類討論；
（Ⅲ）使得f（x₀）＜0成立，只需求出區(qū)間內(nèi)的最小值即可，對a進行分類討論，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（I）由題意知$f（x）=x-lnx+\frac{2}{x}$，x∈[1，3]．
$f'（x）=1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-x-2}}{x^2}$，
令f'（x）=0，x₁=2，x₂=-1（舍）．

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）	-2	為負	0	為正	$\frac{4}{9}$
f（x）	3	遞減	極小值	遞增	$\frac{11}{3}-ln3$

由上表可知，函數(shù)f（x）的最小值為f（2）=2-ln2，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=3．                                            …（4分）
（II）$f'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}=\frac{{{x^2}-ax-1-a}}{x^2}$，令f'（x）=0，x₁=-1，x₂=1+a．
由于函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)1+a≤0時，f'（x）＞0，
當(dāng)1+a＞0時，0＜x＜1+a有f'（x）＜0，x＞1+a有f'（x）＞0．
所以，當(dāng)a≤-1時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞-1時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（0，1+a）；遞增區(qū)間是[1+a，+∞）．…（10分）
（Ⅲ） 當(dāng)1+a≤1時，即a≤0時，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f（1）＜0解得a＜-2；
當(dāng)1+a≥e時，即a≥e-1時，函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（e）＜0解得$a＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；
當(dāng)1＜1+a＜e時，即0＜a＜e-1時，函數(shù)f（x）在[1，1+a]上單調(diào)遞減，[1+a，e]上單調(diào)遞增，
∴f（1+a）=2+a-aln（1+a）＜0，由于0＜ln（1+a）＜1，
所以a＞aln（1+a），因此2+a-aln（1+a）＞2，不等式f（1+a）＜0無解．
綜上所述，a＜-2或$a＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$．                       …（16分）

點評 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和對參數(shù)的分類討論問題，屬于綜合性較強的題型．