Question

12．如圖所示，AB是圓O的直徑，BC與圓O相切于B，∠ADC+∠DCO=180°
（Ⅰ）證明：∠BCO=∠DCO；
（Ⅱ）若⊙O半徑為R，求AD•OC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OD，運用等腰三角形的性質(zhì)和兩直線平行的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定，可得△COB≌△COD，即可得證；
（Ⅱ）連接BD，運用直徑所對圓周角為直角，結(jié)合相似三角形的判定，可得△ODC∽△ADB，運用對應(yīng)邊成比例，即可得到所求值．

解答 證明：（Ⅰ）連接OD，在等腰三角形ADO中，OA=OD，
∠ODA=∠OAD，
由∠ADC+∠DCO=180°，可得AD∥OC，
則∠COD=∠ODA，
∠COB=∠OAD，
則∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，
CO=CO，BO=DO，∠COB=∠COD，
可得△COB≌△COD，
即有∠BCO=∠DCO；
解：（Ⅱ）連接BD，則AD⊥BD，
由△COB≌△COD可得，∠ODC=90°，
由∠ODC=∠ADB，
∠COD=∠BAD，
則△ODC∽△ADB，
即有$\frac{OD}{AD}$=$\frac{OC}{AB}$，
即AD•OC=OD•AB=R•2R=2R²．

點評 本題考查圓的直徑所對圓周角為直角，考查兩直線平行的判定和性質(zhì)，三角形全等或相似的判定和性質(zhì)的運用，考查推理能力，屬于中檔題．