Question

已知函數(shù)（其中且），是的反函數(shù).

（1）已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的奇偶性和增減性；

（3）設(shè)，其中.記，數(shù)列的前項(xiàng)的和為（），

求證：.

Answer 1

（1）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，

 該函數(shù)在上遞增、在上遞減，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范圍為

。

（2）的定義域?yàn)?sub>，

 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又， ，所以函數(shù)為奇函數(shù)。

下面討論在上函數(shù)的增減性.

任取、，設(shè)，令，則，，所以

因?yàn)?sub>，，，所以

.

又當(dāng)時，是減函數(shù)，所以.由定義知在上函數(shù)是減函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以在上函數(shù)也是減函數(shù).

（3）

因?yàn)?sub>，，所以，

 設(shè)，時，則 ，

且，

 由二項(xiàng)式定理，

所以，

從而。