Question

2．-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-2，或-1．

Answer 1

分析 根據(jù) x•（1-x）ⁿ=x（${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ），兩邊對x求導，再把x=1代入上式，可得要求式子的值．

解答 解：當n=1時，要求-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-2．
當n＞1時，要求-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$，
只要求出1-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$即可．
∵x•（1-x）ⁿ=x（${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•x+${C}_{n}^{2}$•x²+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•xⁿ），兩邊對x求導，可得
（1-x）ⁿ-x•n（1-x）^n-1=1-2C${\;}_{n}^{1}$•x+3C${\;}_{n}^{2}$•x²-4C${\;}_{n}^{3}$•x³+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$•xⁿ，
再把x=1代入上式，可得0=1-2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$，
∴2C${\;}_{n}^{1}$+3C${\;}_{n}^{2}$-4C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ（n+1）C${\;}_{n}^{n}$=-1，
故答案為：-2，或-1．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．