Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足 (),數(shù)列滿足 (),且

（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;

（2）若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;

（3）若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）兩邊同除以，得，可求得。用公式，統(tǒng)一成，可求得。（2）由（1），代入得 ，由并項(xiàng)求和可得。（3）由（1）由錯(cuò)位相減法可求得，代入可求。

試題解析：（1）由兩邊同除以，

得，

從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

當(dāng)時(shí)， ， ，

兩式相減得，又，所以，

從而數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，

從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

(2)

=

（3）由（1）得，

，

所以，兩式相減得

所以，

由（1）得，

因?yàn)閷?duì) ，即恒成立，

所以恒成立，

記，所以，

因?yàn)?/span> ，從而數(shù)列為遞增數(shù)列

所以當(dāng)時(shí)， 取最小值，于是．