Question

3．拋物線y=x²與直線x=0、x=1及該拋物線在x=t（0＜t＜1）處的切線所圍成的圖形面積的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{10}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分的幾何意義求積分，利用積分函數(shù)即可S的最小值．

解答 解：∵y=f（x）=x²，
∴f'（x）=2x，
即切線l在P處的斜率k=f'（t）=2t，
∴切線方程為y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
即y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
y=2tx-t²，
作出對(duì)應(yīng)的圖象，
則曲線圍成的面積S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-2tx+{t}^{2}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-t{x}^{2}+{t}^{2}x）{|}_{0}^{1}$
=${t}^{2}-t+\frac{1}{3}$=$（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{12}$，
∵0＜t＜1，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，面積取的最小值為$\frac{1}{12}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查積分的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分公式即可得到面積的最小值，考查學(xué)生的計(jì)算能力．