Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2$\sqrt{2}$，∠PDC=120°．
（1）如圖2，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面PAD；
（2）已知網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長(zhǎng)為0.5，請(qǐng)你在網(wǎng)格紙用粗線畫圖1中四棱錐P-ABCD的俯視圖（不需要標(biāo)字母），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證EF∥平面PAD，需要證面GEF∥面PAD，需要證GF∥PD，GE∥AD，易得證明思路．
（2）證明AD⊥平面PCD，P在平面ABCD的射影H在CD的延長(zhǎng)線上，且DH=1，即可得出四棱錐P-ABCD的俯視圖．

解答 （1）證明：取DC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，
∵F是PC的中點(diǎn)，G是DC的中點(diǎn)，
∴GF是△PCD的中位線，GF∥PD；
∵G是DC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴GE是矩形ABCD的中位線，GE∥AD；
GE、GF⊆面GEF，GE與GF相交，∴面GEF∥面PAD，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．
（2）解：∵AD=PD=2，PA=2$\sqrt{2}$，∴AD⊥PD，
∵底面ABCD是正方形，
∴AD⊥DC，
∵PD∩DC=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴P在平面ABCD的射影H在CD的延長(zhǎng)線上，且DH=1．
俯視圖如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面垂直的判定，考查俯視圖，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．