Question

5．如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分別是SB，SC的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱錐S-BCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由M，N分別為SB，SC的中點，得四邊形ADNM是平行四邊形，即可證得AM∥平面SCD；
（Ⅱ）由側(cè)棱SA⊥底面ABCD，利用錐體的體積公式，可求三棱錐S-BCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵M，N分別為SB，SC的中點，
∴MN∥BC，且MN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}$BC，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形ADNM是平行四邊形，∴AM∥ND，
又∵AM?平面SCD，ND?平面SCD，
∴AM∥平面SCD．
解：（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，
∴三棱錐S-BCD的高為SA，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=3，S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•AB$=1
∴S_△BCD=S_梯形ABCD-S_△ABD=2．
∴V_{三棱錐S-BCD}=$\frac{1}{3}$S_△BCD•SA=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查四棱錐的體積，考查線面平行的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．