Question

3．如圖，已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q（-2，3）
（1）若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，求直線PQ的斜率以及直線PQ與圓C的相交弦PE的長度；
（2）若N（x，y）是直線x+y+1=0上任意一點(diǎn)，過N作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)切線長|NA|最小時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最小值．
（3）若M（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，求$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）通過點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，求出m=4，推出P的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，得到直線PQ的方程，利用圓心（2，7）到直線的距離d，求解即可．
（2）判斷當(dāng)NC最小時(shí)，NA最小，結(jié)合當(dāng)NC⊥l時(shí)，NC最小，求出|NC|的最小值，然后求解直線方程．
（3）利用k_MQ=$\frac{y-3}{x+2}$，題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當(dāng)直線MQ為圓的切線時(shí)，斜率取最值．設(shè)直線MQ的方程為y-3=k（x+2），利用圓心到直線的距離求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，代入圓C的方程，解得m=4，∴P（4，5）
故直線PQ的斜率k=$\frac{5-3}{4-（-2）}$=$\frac{1}{3}$．因此直線PQ的方程為y-5=$\frac{1}{3}$（x-4）．
即x-3y+11=0，而圓心（2，7）到直線的距離d=$\frac{|2-3×7+11|}{\sqrt{10}}$=$\frac{8}{\sqrt{10}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
所以PE=2$\sqrt{{r}^{2}-hytsqsc^{2}}$=$2\sqrt{8-（\frac{4\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{40}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．…（4分）
（2）∵$|{NA}|=\sqrt{N{C^2}-{r^2}}=\sqrt{N{C^2}-8}$
∴當(dāng)NC最小時(shí)，NA最小又知當(dāng)NC⊥l時(shí)，NC最小，
∴$|{NC}|=d=2\sqrt{5}$…（6分）
⇒過C且與直線x+y+1=0垂直的直線方程：x-y+5=0，
∴N（-3，2）…（8分）
（3）∵k_MQ=$\frac{y-3}{x+2}$，
∴題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當(dāng)直線MQ為圓的切線時(shí)，斜率取最值．
設(shè)直線MQ的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0．
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-7+2k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r=2 $\sqrt{2}$．
兩邊平方，即（4k-4）²=8（1+k²），解得k=2-$\sqrt{3}$，或k=2+$\sqrt{3}$．
所以$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值分別為2+$\sqrt{3}$和2-$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．