Question

11．已知空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，$CD=\sqrt{3}$，若平面ABD⊥平面BCD，則該幾何體的外接球表面積為$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 △ABD和△BCD的形狀尋找截面圓心位置，從而得出球心位置．計算外接球的半徑即可得出面積．

解答 解：∵空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；
又BC=1，$CD=\sqrt{3}$，∴△BCD是直角三角形；
取BD的中點M，連接CM，則AM⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，
∴棱錐外接球的球心為△ABD的中心，
∵AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴該四棱錐A-BCD的外接球的半徑為$\frac{2}{3}AM$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴幾何體外接球的表面積S=4π（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16π}{3}$．
故答案為：$\frac{16π}{3}$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系，屬于中檔題．