Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．

（1）用表示出；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（Ⅰ），則有，解得　…．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令，

則 ，…………．5分

（i）當 ，

若 ，則，是減函數(shù)，所以

，故在上恒不成立。

（ii）時， …………………………………．7分

若，故當時，綜上所述，

所求的取值范圍為

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當時，有。

令，有

當時，。…………………………8分

令，有

即 ，……………………．10分

將上述個不等式一次相加得

整理得：……………………．12分

解法二：用數(shù)學歸納法證明

（1）當時，左邊，右邊，不等式成立……………．8分

（2）假設(shè)時，　不等式成立，　就是　

　                           

那么

…………………………………．9分

由（Ⅱ）知：當時，有

令，有…………………………10分

令，得：

………………………12分

就是說， 當時，不等式也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任何都成立。