Question

點B是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一點，A為雙曲線的左頂點，F(xiàn)為右焦點，若∠BFA=2∠BAF，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A．

  3

• B．3
• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：由已知中點B是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一點，不妨取特殊的點，通過構造直角三角形，利用直角三角形中幾何元素，溝通a，b，c的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答：解：∵點B是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上在第一象限的任意一點，不妨取過F作x軸的垂線交雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)在第一象限內的交點為B．如圖．
由題意得，在直角三角形ABF中，BF=

b2

a

，AF=a+c，∠BAF=45°，
∴

b2

a

=a+c，即b²=a²+ac，⇒c²-a²=a²+ac
解得e=

c

a

=2．
故選D．

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，雙曲線的漸近線與離心率存在對應關系，通過a，b，c的比例關系可以求離心率．